Urodził się 1 września 1934 w Hamburgu (Niemcy).
Początkowo uczył się gry na fortepianie i wiolonczeli, kształcił się też jako dyrygent chóru oraz grał na perkusji (m.in w bigbandzie Ernsta Moscha). Pierwszym nauczycielem Baumanna na waltorni był Heinrich Keller a później Fritz Huth w Wyższej Szkole Muzycznej w Hamburgu. W latach 1957-61 był solo waltornistą orkiestry w Dortmund, a w latach 1961-67 solo waltornistą Süddeutsche Rundfunk (SDR) w Stuttgarcie. W 1964 zdobył 1. Nagrodę w Konkursie ARD w Monachium i rozpoczął karierę solistyczną. Zagrał kilkadziesiąt koncertów solo ze znaczącymi orkiestrami Europy, obu Ameryk, a także m.in. Rosji, Japonii czy Australii. Wśród licznych nagrań wyróżnić należy: koncerty Ryszarda Straussa i Reinholda Gliere'a oraz Concertino Carla Marii Webera z Kurtem Masurem i Leipziger Gewandhaus Orchester, koncerty Philipp'a Telemanna, Josepha Haydna i Sinfonię da caccia Leopolda Mozarta z Timothy Brownem i Academy of St. Martin in the Fields, koncerty Wolfganga Amadeusza Mozarta, Sonatę Ludwiga van Beethovena i wiele dzieł kameralnych. Baumann brał również udział w produkcjach filmowych: Auftritt in Frenkreich, Historia rogu i Lekcje mistrzowskie.
Był propagatorem instrumentu - w szczególności gry na rogu naturalnym, jego historii, organizował konkursy, warsztaty i sympozja. W 1999 otrzymał na Christopher Monk Award nagrodę Historic Brass Society za całokształt twórczości.
Jako pedagog Wyższej Uczelni w Essen wykształcił liczne grono waltornistów.
Zmarł 29 grudnia 2023.
H.Baumann - W.A.Mozart: Koncert nr 1 cz.1, róg naturalny - demo.mp3
